[2020版]八下期末复习—中难题选析(2)
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试题部分(解析在后面)
【例1】如图,直线AB:y=﹣x﹣b分别与x,y轴交于A(6,0)、B两点,过点B的直线交x轴负半轴于C,且OB:OC=3:1.
(1)求点B的坐标;(2)求直线BC的解析式;(3)直线EF:y=2x﹣k(k≠0)交AB于E,交BC于点F,交x轴于点D,是否存在这样的直线EF,使得S△EBD=S△FBD?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.(2)求△BDC的面积(3)如图2,P是y轴正半轴上的一点,Q是直线AB上的一点,连接PQ.①若PQ∥x轴,且点A关于直线PQ的对称点A′恰好落在直线CD上,求PQ的长.②若△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合),请写出所有满足要求的点Q坐标.
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解答部分
【例1】如图,直线AB:y=﹣x﹣b分别与x,y轴交于A(6,0)、B两点,过点B的直线交x轴负半轴于C,且OB:OC=3:1.(1)求点B的坐标;(2)求直线BC的解析式;(3)直线EF:y=2x﹣k(k≠0)交AB于E,交BC于点F,交x轴于点D,是否存在这样的直线EF,使得S△EBD=S△FBD?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
【图文解析】
(1)依题意,得0=﹣6﹣b,解得b=﹣6.得:直线AB为y=﹣x+6.所以B点坐标为(0,6).(2)由(1),得OB=6.由OB:OC=3:1,得OC=2.所以点C的坐标为(﹣2,0),设BC的解析式是y=ax+6,将点C坐标代入,得-2a+6=0,解得a=3.∴直线BC为y=3x+6.(3)画出符合条件的图,如下图示.(思考:为什么?(反思中说明))因此可添加如下图所示的辅助线,通过全等(AAS),得ME=NF,得yE+yF=0.
得﹣x+6=2x﹣k,解得yE=-k/3+4.联立直线BC和直线EF的解析式,得3x+6=2x﹣k,解得yF=﹣3k﹣12.根据yE+yF=0,得(-k/3+4)+(-3k-12)=0.解得k=-2.4.综上,当k=﹣2.4时,存在直线EF:y=2x+2.4,使得S△EBD=S△FBD.【反思】解题的关键:一是画出符合条件的图,二是通过“等底同高面积相等”将原题转化为得到DE=DF,进一步通过全等转化为两点E、F的纵坐标关系.含参计算也是本题的一个重要知识内容,容不得计算错误.
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【例2】如图1,直线y=﹣4x/3+8与x轴,y轴分别交于点A,B,直线y=x+1与直线AB交于点C,与y轴交于点D.
(2)求△BDC的面积(3)如图2,P是y轴正半轴上的一点,Q是直线AB上的一点,连接PQ.①若PQ∥x轴,且点A关于直线PQ的对称点A′恰好落在直线CD上,求PQ的长.②若△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合),请写出所有满足要求的点Q坐标.
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【图文解析】(1)(2)均为基本题,不做详细解析(1)解题思路:直接联立直线AB和CD的解析式求解.由-4x/3+8=x+1,解得x=3.把x=3代入y=x+1=3+1=4.所以点C的坐标为(3,4).(2)由B(0,8),D(0,1),得BD=7.所以S△BDC=0.5BD×|xC|=21/2.(3)①画出如图符合题意的图形:
进一步,得H(6,7/2).得yQ=yH= 7/2.所y=7/2代入y=-4x/3+8,得7/2=-4x/3+8,解得x=27/8.所以PQ=27/8.②如下图示:
下面分两种情况:(Ⅰ)当点P在B点下方,如下图示:
由△BPQ的面积=△BCD的面积,得△BPQ的面积=0.5BP·xQ=21/2.即0.5×5xQ=21/2.解得xQ=21/5.得yQ=…=12/5.所以Q(21/5,12/5).(Ⅱ)P在B点上方时,若BP=BD,则有以下两情形.情形一:如下图示.
情形二:如下图示.
综上所述,所求的点Q的坐标为:(21/5,12/5),(-3,12),(-21/5,68/5).【反思】注意最后一问的多种情况及综合运用全等和一次函数的概念(函数值)解题.另:若通过几何方法求点Q坐标也可,但计算量较大且繁琐.
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